前言
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正文
在泛函分析中，定义在紧致的Hausdorff空间（Compact Hausdorff Space）上的复值连续函数（Continuous Complex-valued Functions）全体C(X)是重要的空间。在通常的函数加法，数乘和函数乘法（pointwise multiplication）下是一个交换代数（communicative algebra）。如果赋予最大值范数，还构成交换Banach代数。而且有更深刻的定理表明：任何一个Banach 空间H都等距同构与某个紧致的Hausdorff空间X上的连续空间。某种意义下可以说这个定理对Banach空间给了一个很好的刻画。事实上这个紧致的Hausdorff空间X就是H的对偶空间中的单位球，其拓扑是弱拓扑（由Alaoglu定理容易知道它是弱紧的）。
关于紧致的Hausdorff空间上的连续函数空间有一个有趣的命题：
X是紧致的Haosdorff空间，则C(X)是有限维空间当且仅当X是有限的。
充分性：要考虑到当X是有限时，由于X是Hausdorff空间，这时X的拓扑很简单就是离散拓扑，即X的任意子集都是开集。所以X上的任意映射都是连续的，这样不难验证所有的单点集的特征函数就是C(X)的一个基底，推出C(X)是有限维的。
必要性：反证法，如果X非有限，存在可列点集（xi）。注意到点集拓扑中有个结果：紧致的Hausdorff空间是T4空间。当然也是正规空间，而且X中的有限点集是闭集，由Urysohn Lemma知道，有连续函数fj（xi）=0；当i小于等于j时，fj（xj+1）=1。这样至少有可列个线性无关的连续函数fj。这与C(X)有限维矛盾。