目录
- 背景
- 第一部分
- 第二部分
- 第三部分
- 第四部分
- 参考文献及资料
背景
傅里叶变换（Fourier transform简称：FT）应用最广泛的领域应该是信息领域。wiki中定义为一种线性积分变换，用于函数（应用上称作“信号”）在时域和频域之间的变换。
这个思想方法最先由法国科学家Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830）在研究热传导时首次提出。他在1807年，向法国科学学会递交了一篇论文（即《热的传播》），运用正弦曲线来描述温度分布。论文里使用了一个未严格证明的定理：任何一个函数都可以表达为一系列不同频率的简谐振动（即简单的三角函数）的叠加。
论文在审查中，拉格朗日坚决不同意论文的发表。主要理由是：坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。拉格朗日当时在法国科学院可是权威，所以科学院拒绝了傅里叶的论文。
1811年，傅立叶重新呈交了修改后的论文，这次终于获得科学院于1812年颁发的奖金，但是仍然因为缺乏严密性而被拒绝刊载在科学院的《报告》中。直到1822年，他自己担任科学院终身秘书后（权职），终于将这篇论文发表了。
第一部分 基础知识准备
1.1 线性空间
常见线性空间就是欧式空间，例如我们生活的3维欧式空间就是一个特殊的线性空间。那什么是线性空间呢？
首先我们有一个集合$V$，然后我们在集合上定义两个运算：加法和数乘。因为引入数乘运算，所以同时需要引入一个数域 $\mathbb{P}$。
向量加法 $+: V \times V \rightarrow V$ ，即 $\forall \alpha, \beta \in V, \alpha+\beta \in V$ 。有时为了和一般数的加法相区别，也记作 $\oplus$ 。
数乘 ( 称标量乘法) : $V \times V \rightarrow V$ ，即 $\forall \alpha \in V, k \in \mathbb{P}, k \cdot \alpha \in V$ 。有时为了和一般数的乘法相区别， 也记作 $\odot$ 。
集合中的任意元素在加法和数乘运算下是封闭的。另外运算还满足交换律和结合律。
- 向量加法的交换律: $\forall \alpha, \beta \in V, \alpha+\beta=\beta+\alpha$
- 向量加法的结合律: $\forall \alpha, \beta, \gamma \in V,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
- 向量加法有零元 : $\exists \theta \in V, \forall \alpha \in V, \alpha+\theta=\alpha$
- 向量加法有负元: $\forall \alpha \in V, \exists \alpha^{\prime} \in V, \alpha+\alpha^{\prime}=\theta$
- 标量乘法对向量加法有分配律 $\forall \alpha, \beta \in V, \forall k \in \mathbb{P}, k \cdot(\alpha+\beta)=k \cdot \alpha+k \cdot \beta$
- 标量乘法对域加法有分配律 : $\forall \alpha \in V, \forall k, l \in \mathbb{P},(k+l) \cdot \alpha=k \cdot \alpha+l \cdot \alpha$
- 标量乘法与标量的域乘法相容 : $\forall \alpha \in V, \forall k, l \in \mathbb{P},(k l) \cdot \alpha=k \cdot(l \cdot \alpha)$
- 标量乘法有单位元 : $\forall \alpha \in V, 1 \cdot \alpha=\alpha$
满足以上8条性质便可称其为线性空间，在不引起混淆的情况下 $(V ;+, \cdot;\mathbb{P})$ 也可记为 $V 。 k \cdot \alpha$ 也可沿用几何空间 中向量数乘的习惯记为 $k \alpha$ 。
1.2 线性变换
有了线性空间的概念后，我们就可以定义线性空间之间的映射（集合上的概念）。如果映射 $\mathbf{T}: V \rightarrow W$ ，满足线性空间的加法和数乘封闭性 :
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{T}(\alpha+\beta)=\mathbf{T}(\alpha)+\mathbf{T}(\beta) \in W \
&\mathbf{T}(a \alpha)=a \mathbf{T}(\alpha) \in W
\end{aligned}
$$
其中 $\alpha, \beta \in V ， a \in \mathbb{P}$，有时候也称变换为函数。
1.3 线性子空间
在集合概念中有子集合的概念。那么线性空间中的元素首先是一个集合对象，那么当然也有子集合，那么对于这个子集合，如果还能保持线性运算（线性运算定义继承原线性空间）封闭，这就是一个子线性空间，当然中文语境我们通常称为线性子空间。
1.4 线性空间的基
根据线性空间的定义我们知道，线性空间的元素可以被空间的若干元素线性表示：
$$
v=k \cdot a+l \cdot b +n\cdot c
$$
那么就有问题：
这种线性表示是否是唯一的？
答案是否定。例如常见的3维欧式空间中点：（1，2，3）
空间中是否存在无法被其他元素线性表示的对象（不含数乘生成对象）？
存在。例如3维欧式空间中点：（0，0, 1）。其实这种代表元就是线性空间中基。
这样我们就抽象出线性空间基的概念：
1.3 函数空间
对于线性空间，我们只定义了元素间的线性结构，空间是没有拓扑结构，更没有度量、范数和内积。 例如欧式空间就是赋予了欧式度量后，元素之间有了距离结构。
第二部分 傅里叶变换
2.1 时域、频域、空间域的基本概念
https://zhuanlan.zhihu.com/p/428783752
第三部分 傅里叶变换的应用
https://codeantenna.com/a/lHTPxCro41
第四部分 快速傅里叶变换
https://www.cnblogs.com/LXP-Never/p/11558302.html
第五部分 短时傅里叶变换
5.1 局限性
对非平稳过程，傅里叶变换有局限性
对非平稳过程，傅里叶变换有局限性