前言
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正文
泛函分析中凸集分离定理是Hahn-Banach定理的几何形式。描述的是在一定条件下，赋范线性空间中的两个互不相交的凸集被连续线性泛函分离。通常的泛函书上有两种形式：1.赋范线性空间X上的两个互不相交的凸集E和F，其中有一个有内点，这时候存在连续线性泛函分离两凸集。（证明中需要这个内点来定义Minkowski泛函）2.赋范线性空间X上的两个互不相交的凸集E、F，当E和F的距离大于0时，也有连续线性泛函分离两个凸集。（证明中由于两个凸集距离大于零，所以可以常用技巧在其中一个凸集上“镶”一个适当的“开环”仍然是凸集而且有内点，利用情形1即可）。3.赋范线性空间X上的两个互不相交的凸闭集E和凸紧集F，这是同样有连续线性泛函隔离两个集合。（证明是由于紧集和闭集的距离大于0，利用2即可）。
以上是凸集分离定理通常的三种形式，但是对于有限维的赋范线性空间（即欧氏空间），这时对于任意的两个互不相交的凸集都有连续线性泛函隔离之。